复变函数的积分

文章目录

一、复变函数积分的概念学习目标1、参数法计算复积分

二、柯西-古萨(C-G)基本定理学习目标

三、复数闭路定理学习目标

四、原函数与不定积分学习目标

五、柯西积分公式学习目标

六、解析函数的高阶导数学习目标

七、解析函数与调和函数的关系学习目标

1、解析函数与调和函数的关系2、偏积分法求共轭调和函数

一、复变函数积分的概念

学习目标

会用参数法计算复积分记住

∫

c

f

(

z

)

d

z

=

∫

c

(

u

+

i

v

)

(

d

x

+

i

d

y

)

=

∫

c

u

d

x

−

v

d

y

+

i

∫

c

v

d

x

+

u

d

y

\int_cf(z)dz=\int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_cudx-vdy+i\int_cvdx+udy

∫c​f(z)dz=∫c​(u+iv)(dx+idy)=∫c​udx−vdy+i∫c​vdx+udy记住

∮

∣

z

−

z

0

∣

=

r

d

z

(

z

−

z

0

)

n

+

1

=

{

2

π

i

n

=

0

0

n

≠

0

\oint_{|z-z_0| =r}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases} 2\pi i &n=0 \\ 0 & n\neq 0\end{cases}

∮∣z−z0​∣=r​(z−z0​)n+1dz​={2πi0​n=0n̸​=0​

1、参数法计算复积分

例题1：计算

∫

c

z

d

z

\int_czdz

∫c​zdz ,其中

C

C

C 为从原点到点

3

+

4

i

3+4i

3+4i 的直线段.

解

解

解： 直线的方程可写作

x

=

3

t

，

y

=

4

t

，

0

≤

t

≤

1

x=3t，y=4t，0\leq t\leq 1

x=3t，y=4t，0≤t≤1或

z

=

3

t

+

i

4

t

，

0

≤

t

≤

1

z=3t+i4t，0\leq t\leq 1

z=3t+i4t，0≤t≤1在

C

C

C 上，

z

=

(

3

+

4

i

)

t

，

d

z

=

(

3

+

4

i

)

d

t

z=(3+4i)t，dz=(3+4i)dt

z=(3+4i)t，dz=(3+4i)dt. 于是

∫

c

z

d

z

=

∫

0

1

(

3

+

4

i

)

2

t

d

t

=

(

3

+

4

i

)

2

∫

0

1

t

d

t

=

1

2

(

3

+

4

i

)

2

.

\int_czdz=\int^{1}_{0}(3+4i)^2tdt=(3+4i)^2\int^{1}_{0}tdt=\frac{1}{2}(3+4i)^2.

∫c​zdz=∫01​(3+4i)2tdt=(3+4i)2∫01​tdt=21​(3+4i)2. 例题2：计算积分

∮

c

z

‾

∣

z

∣

d

z

\oint_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz

∮c​∣z∣z​dz 的值，其中

C

C

C 为

∣

z

∣

|z|

∣z∣ 的正向圆周

解

解

解：

z

=

r

e

i

θ

z=re^{i\theta}

z=reiθ ，则

z

‾

=

r

e

−

i

θ

\overline{z}=re^{-i\theta}

z=re−iθ ，

d

z

=

i

r

e

i

θ

d

θ

dz=ire^{i\theta}d\theta

dz=ireiθdθ 所以

∮

c

z

‾

∣

z

∣

d

z

=

∫

0

2

π

r

e

−

i

θ

r

⋅

i

r

e

i

θ

d

θ

=

i

r

∫

0

2

π

d

θ

=

4

π

i

\oint_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz=\int^{2\pi}_{0}\frac{re^{-i\theta}}{r}·ire^{i\theta}d\theta=ir\int^{2\pi}_{0}d\theta=4\pi i

∮c​∣z∣z​dz=∫02π​rre−iθ​⋅ireiθdθ=ir∫02π​dθ=4πi

二、柯西-古萨(C-G)基本定理

学习目标

记住柯西-古萨基本定理的内容，并会灵活运用 柯西-古萨基本定理：如果函数

f

(

z

)

f(z)

f(z) 在单连通域

B

B

B 内处处解析，那么函数

f

(

z

)

f(z)

f(z) 沿

B

B

B 内的任何一条封闭曲线

C

C

C 的积分为零：

∮

c

f

(

z

)

d

z

=

0

\oint_cf(z)dz=0

∮c​f(z)dz=0

三、复数闭路定理

学习目标

记住复合闭路定理的内容(两种形式)，并会灵活运用(结合其他公式) 定理：设

C

C

C 为多个连通域

D

D

D 内的一条简单闭曲线，

C

1

,

C

2

,

⋅

⋅

⋅

，

C

n

C_1,C_2,···，C_n

C1​,C2​,⋅⋅⋅，Cn​ 是在

C

C

C 内部的简单闭曲线，它们互不包含也不互相交，并且以

C

1

,

C

2

,

⋅

⋅

⋅

，

C

n

C_1,C_2,···，C_n

C1​,C2​,⋅⋅⋅，Cn​ 为边界的区域全含于

D

D

D. 如果

f

(

z

)

f(z)

f(z) 在

D

D

D 内解析，那么

∮

c

f

(

z

)

d

z

=

∑

k

=

1

n

∮

c

k

f

(

z

)

d

z

\oint_cf(z)dz=\sum \limits_{k=1}^n{\oint_{c_k}f(z)dz}

∮c​f(z)dz=k=1∑n​∮ck​​f(z)dz其中

C

C

C 即

C

k

C_k

Ck​ 均取正方向;并且满足

∮

Γ

f

(

z

)

d

z

=

0

\oint_\Gamma f(z)dz=0

∮Γ​f(z)dz=0这里的

Γ

\Gamma

Γ 为由

C

C

C 即

C

k

(

k

=

1

,

2

,

⋅

⋅

⋅

,

n

)

C_k (k=1,2,···,n)

Ck​(k=1,2,⋅⋅⋅,n) 所组成的复合闭路(其方向是:

C

C

C按逆时针进行，

C

k

n

C^{n}_{k}

Ckn​ 按顺时针进行)

四、原函数与不定积分

学习目标

知道什么条件下，积分值与起点和终点有关，与路径无关会用复

N

−

L

N-L

N−L 公式计算福鼎积分 定理一:如果函数

f

(

z

)

f(z)

f(z) 在单连通域

B

B

B 内处处解析，那么积分

∫

c

f

(

z

)

d

z

\int_cf(z)dz

∫c​f(z)dz 与连接起点和终点的路线

C

C

C 无关.

P

S

PS

PS：单连通域是指：设

D

D

D 是一区域，若属于

D

D

D 内任一简单闭曲线的内部都属于

D

D

D，则称

D

D

D 为单连通区域. 定理二：如果

f

(

z

)

f(z)

f(z) 在单连通域

B

B

B 内处处解析，那么函数

F

(

z

)

F(z)

F(z) 必为

B

B

B 内的一个解析函数，并且

F

′

(

z

)

=

f

(

z

)

F^{'}(z)=f(z)

F′(z)=f(z). 定理三：如果

f

(

z

)

f(z)

f(z) 在单连通域

B

B

B 内处处解析，

G

(

z

)

G(z)

G(z) 为

f

(

z

)

f(z)

f(z) 的一个原函数，那么

∫

z

0

z

1

f

(

z

)

d

z

=

G

(

z

1

)

−

G

(

z

0

)

\int_{z_0}^{z_1}f(z)dz=G(z_1)-G(z_0)

∫z0​z1​​f(z)dz=G(z1​)−G(z0​)这里

z

0

，

z

1

z_0，z_1

z0​，z1​为域

B

B

B 内的两点.

五、柯西积分公式

学习目标

记住柯西积分公式的内容，并会灵活运用 定理：如果

f

(

z

)

f(z)

f(z) 在区域

D

D

D 内处处解析，

C

C

C 为

D

D

D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于

D

D

D ，

z

0

z_0

z0​ 为

C

C

C 内的任一点，那么

∮

c

f

(

z

)

z

−

z

0

d

z

=

2

π

i

f

(

z

0

)

\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z_0)

∮c​z−z0​f(z)​dz=2πif(z0​)

六、解析函数的高阶导数

学习目标

记住高阶导数公式的内容，并会灵活运用 定理：解析函数

f

(

z

)

f(z)

f(z) 的导数仍为解析函数，它的

n

n

n 阶导数为：

f

(

n

)

(

z

0

)

=

n

!

2

π

i

∮

c

f

(

z

)

(

z

−

z

0

)

(

n

+

1

)

d

z

(

n

=

1

,

2

,

⋅

⋅

⋅

）

f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^{(n+1)}}dz\ \ \ \ \ (n=1,2,···）

f(n)(z0​)=2πin!​∮c​(z−z0​)(n+1)f(z)​dz (n=1,2,⋅⋅⋅）其中

C

C

C 为在函数

f

(

z

)

f(z)

f(z) 的解析区域

D

D

D 内围绕

z

0

z_0

z0​ 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于

D

D

D. 也可以写成

∮

c

f

(

z

)

(

z

−

z

0

)

(

n

+

1

)

d

z

=

2

π

i

n

!

f

(

n

)

(

z

0

)

(

n

=

1

,

2

,

⋅

⋅

⋅

)

\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^{(n+1)}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)\ \ \ \ \ (n=1,2,···)

∮c​(z−z0​)(n+1)f(z)​dz=n!2πi​f(n)(z0​) (n=1,2,⋅⋅⋅)

七、解析函数与调和函数的关系

学习目标

会判别一个函数是否为调和函数知道共轭调和函数的定义知道解析函数于调和函数的关系给一个函数

u

(

x

,

y

)

u(x,y)

u(x,y) 或

v

(

x

,

y

)

v(x,y)

v(x,y), 求另一个函数

v

(

x

,

y

)

v(x,y)

v(x,y) 或

u

(

x

,

y

)

u(x,y)

u(x,y) 组成一个解析函数

1、解析函数与调和函数的关系

如果二元实变函数

ϕ

(

x

,

y

)

\phi(x,y)

ϕ(x,y) 在区域

D

D

D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯

(

L

a

p

l

a

c

e

)

(Laplace)

(Laplace)方程

∂

2

ϕ

∂

x

2

+

∂

2

ϕ

∂

y

2

=

0

\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=0

∂x2∂2ϕ​+∂y2∂2ϕ​=0那么称

ϕ

(

x

,

y

)

\phi(x,y)

ϕ(x,y) 为区域

D

D

D 内的调和函数. 定理：任何在区域

D

D

D 内解析的函数，它的实部和虚部都是

D

D

D 内的调和函数. 即：

∂

2

u

∂

x

2

+

∂

2

u

∂

y

2

=

0

\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0

∂x2∂2u​+∂y2∂2u​=0

∂

2

v

∂

x

2

+

∂

2

v

∂

y

2

=

0

\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0

∂x2∂2v​+∂y2∂2v​=0 在

D

D

D 内满足柯西-黎曼方程

∂

u

∂

x

=

∂

v

∂

y

，

∂

v

∂

x

=

−

∂

u

∂

y

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}

∂x∂u​=∂y∂v​，∂x∂v​=−∂y∂u​的两个调和函数，

v

v

v 称为

u

u

u 的共轭调和函数. 因此，上面的定理说明：区域

D

D

D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.

2、偏积分法求共轭调和函数

T

e

s

t

1

Test1

Test1：证明

u

(

x

,

y

)

=

y

3

−

3

x

2

y

u(x,y)=y^3-3x^2y

u(x,y)=y3−3x2y 为调和函数，并求其共轭调和函数

v

(

x

,

y

)

v(x,y)

v(x,y) 和由它们构成的解析函数.

解

解

解：

1

）

1）

1）因为

∂

u

∂

x

=

−

6

x

y

，

∂

2

u

∂

x

2

=

−

6

y

\frac{\partial u}{\partial x}=-6xy，\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=-6y

∂x∂u​=−6xy，∂x2∂2u​=−6y

∂

u

∂

y

=

3

y

2

−

3

x

2

，

∂

2

u

∂

y

2

=

6

y

\frac{\partial u}{\partial y}=3y^2-3x^2，\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=6y

∂y∂u​=3y2−3x2，∂y2∂2u​=6y所以

∂

2

u

∂

x

2

+

∂

2

u

∂

y

2

=

0

\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0

∂x2∂2u​+∂y2∂2u​=0这就证明了

u

(

x

,

y

)

u(x,y)

u(x,y) 为调和函数.

2

）

2）

2）由

∂

v

∂

y

=

∂

u

∂

x

=

−

6

x

y

\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=-6xy

∂y∂v​=∂x∂u​=−6xy得

v

=

∫

−

6

x

y

d

y

=

−

3

x

y

2

+

g

(

x

)

，

v=\int-6xydy=-3xy^2+g(x)，

v=∫−6xydy=−3xy2+g(x)，

∂

v

∂

x

=

−

3

y

2

+

g

′

(

x

)

\frac{\partial v}{\partial x}=-3y^2+g^{'}(x)

∂x∂v​=−3y2+g′(x)由

∂

v

∂

x

=

−

∂

u

∂

y

\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}

∂x∂v​=−∂y∂u​，得

−

3

y

2

+

g

′

(

x

)

=

−

3

y

2

+

3

x

2

-3y^2+g^{'}(x)=-3y^2+3x^2

−3y2+g′(x)=−3y2+3x2故

g

(

x

)

=

∫

3

x

2

d

x

=

x

3

+

C

g(x)=\int3x^2dx=x^3+C

g(x)=∫3x2dx=x3+C因此

v

(

x

,

y

)

=

x

3

−

3

x

y

2

+

C

v(x,y)=x^3-3xy^2+C

v(x,y)=x3−3xy2+C从而得到一个解析函数

w

=

y

3

−

3

x

2

y

+

i

(

x

3

−

3

x

y

2

+

C

)

w=y^3-3x^2y+i(x^3-3xy^2+C)

w=y3−3x2y+i(x3−3xy2+C)